РАЗВИТИЕ ОПТИЧЕСКОЙ ТОМОГРАФИИ БИОЛОГИЧЕСКИХ РАССЕИВАЮЩИХ СРЕД

С.А.Терещенко

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)
Россия, 103498, Москва, Зеленоград, МИЭТ (тел.: 532-99-63, E-mail: tsa@adicom.ru)
http://www.miee.ru

В последнее время появилось большое количество оригинальных работ [1,2], а также обзоров [3-7] в области исследования возможности томографических подходов к восстановлению внутренних структур в сильнорассеивающих (мутных) средах (СРС), в том числе биологических. При этом, как правило, под внутренними структурами понимается пространственное распределение макроскопических характеристик СРС, например, коэффициента поглощения и коэффициента рассеяния излучения. Такой интерес обусловлен как практической значимостью оптической томографии СРС, так и научной сложностью самой задачи, поскольку хорошо разработанный математический аппарат традиционной вычислительной томографии, опирающийся на преобразование Радона, в случае рассеивающих сред не работает. Поэтому при разработке томографических подходов приходится начинать с описания прохождения излучения через СРС. В связи со сложностью задачи такого описания оно превратилось практически в самостоятельное направление, в котором переход к томографии только подразумевается. Наиболее общим способом описания взаимодействия оптического излучения с веществом, как известно, являются уравнения Максвелла. Однако, непосредственный переход от уравнений Максвелла к томографии в настоящее время вряд ли возможен. Поэтому необходима промежуточная более простая математическая модель, не обязательно самая точная, но обязательно позволяющая осуществить переход к томографии. Использование статистического подхода и аппарата корреляционных функций [8] позволяет получить уравнения Дайсона для средних значений поля и Бете-Солпитера для вторых моментов. Хотя практически эти уравнения бесполезны из-за невозможности их решения, они дают возможность обоснования уравнения переноса излучения (УПИ) [9-12], являющегося наиболее популярным инструментом как при описании прохождения излучения через СРС, так и в качестве основы для перехода к томографии. Задачу оптической томографии СРС на базе УПИ можно описать следующим образом. Облучая исследуемый объект лучами лазера под разными ракурсами и измеряя выходящее из объекта излучение, описываемое уравнением переноса, необходимо восстановить пространственные характеристики рассеивающей среды, которые входят как феноменологические параметры в уравнение переноса излучения - так называемая, обратная задача. Важнейшими характеристиками рассеивающей среды, входящими в уравнение переноса являются коэффициент поглощения излучения и дифференциальный по углам коэффициент рассеяния излучения (пространственно неоднородная индикатриса рассеяния). Таким образом, в наиболее общей постановке задачи, можно говорить о восстановлении двух независимых функций, зависящих от трех и семи переменных. Так как, в такой постановке задача становится слишком трудной не только для решения, но и для интерпретации результатов восстановления, то рассматриваются, как правило, более простые модели и, соответственно, более простые объекты восстановления. Отметим, что даже при использовании моделей, не опирающихся на УПИ, как правило имеют в виду макроскопические феноменологические характеристики СРС, входящие в УПИ, такие как коэффициенты поглощения и рассеяния, а также величины, производные от них, например, средняя длина пробега между рассеяниями и др. К таким моделям можно отнести модель случайного блуждания на трёхмерной решётке [13-15], описание с помощью марковской цепи [16], а также стационарную двухпотоковую модель Кубелки-Мунка [11,17] и её обобщение - стационарную семипотоковую модель [18]. Так как в общем случае УПИ аналитического решения не имеет, особую важность приобретают методы упрощения УПИ при дополнительных предположениях. Заметим, что численное решение УПИ [19], а также моделирование прохождения излучения через СРС методом Монте-Карло [20,21], самостоятельного значения не имеют, так как не могут служить основой для перехода к томографии. Эти методы используются, как правило, для верификации аналитических моделей. При переходе к томографии рассеивающих сред естественно в качестве нулевого приближения использовать уже разработанный математический аппарат, опирающийся на преобразование Радона. Ряд исследователей действительно пошёл по этому пути [22,23]. Однако, при таком подходе все особенности, связанные с новым физическим процессом рассеяния излучения игнорируются. Некоторым усовершенствованием этого подхода является модификация фильтрующих ядер в стандартных алгоритмах обращения преобразования Радона. При этом либо получают эффективную аппаратную функцию, используя тестовые объекты [24], либо производится аналитическая модификация, основанная на полуэмпирических соображениях [25]. Обычно рассматривается геометрическая схема измерений, в которой и облучение и съём информации происходят в одной и той же выделенной плоскости. При этом, как правило, облучение производят тонким лучом лазера, а регистрируется прошедшее через СРС излучение на оси зондирующего луча. Реже используется регистрация обратно рассеянного излучения. При этом предполагается, что остальные части объекта не вносят вклада в измеряемые величины, хотя при учёте рассеяния это уже не столь оправдано, как в случае рентгеновской томографии. Один из случаев, когда плоскости падения зондирующего излучения и регистрации прошедшего излучения различны, рассмотрен в [26] в предположении однократного рассеяния. Наиболее общий операторный подход заключается в регистрации излучения на всей границе исследуемой области и рассматривается зависимость результатов измерений непосредственно от подлежащих восстановлению характеристик СРС [27-29]. При традиционном рассмотрении (например, при обосновании рентгеновской томографии) по результатам измерений ищется плотность потока излучения во всей области исследуемой области, причём искомая функция связана с результатами измерений линейным оператором, а характеристики СРС являются параметрами. К сожалению, при рассмотрении зависимости результатов измерений непосредственно от характеристик СРС соответствующий оператор является нелинейным, что, учитывая огромную размерность задачи, делает реализацию этого подхода практически невозможной. Одно из решений заключается в линеаризации нелинейных операторов и получении линейной задачи, которую уже можно решить тем или иным способом. В [30-32] описано применение метода конечных элементов в данном подходе. Тем не менее, задача остаётся тяжёлой в вычислительном плане, что оправдывает поиск более простых моделей. Заметим, что по существу операторная модель объединяет в себе целый класс моделей в зависимости от определения основных операторов. Как правило, в основу кладутся те или иные приближения УПИ, чаще всего диффузионное приближение, несмотря на то, что корректность его использования подвергается сомнению [33]. При этом возможны три варианта: стационарный, частотный и нестационарный, использующие соответственно непрерывное излучение, непрерывное излучение с высокочастотной модуляцией и импульсное излучение. В последнем случае регистрация временного распределения прошедшего излучения приводит к существенному увеличению исходной для томографического восстановления информации. Применение метода конечных элементов в частотном варианте описано в [34], а использование интегральных преобразований, в частности преобразований Меллина и Лапласа, в нестационарном варианте в [35].

В отличие от вышеперечисленных, более перспективным, на наш взгляд, является подход, основаный на нестационарной двухпотоковой модели переноса излучения в сильнорассеивающей среде [36-40], сводящей процесс рассеяния, по существу, к обратному рассеянию за счет переопределения коэффициентов поглощения, рассеяния и экстинкции, и позволяющей сохранить лучевую идеологию традиционных методов вычислительной томографии. В рамках нестационарной двухпотоковой модели интегро-дифференциальное уравнение переноса излучения можно свести к дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка гиперболического типа, а в специальном случае пропорциональной рассеивающей среды к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, являющемуся ближайшим обобщением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка для закона экспоненциального ослабления излучения, лежащего в основе всей традиционной трансмиссионной вычислительной томографии и приводящего, в конечном счете, к преобразованию Радона. В случае произвольной рассеивающей среды регистрация временного распределения прошедшего через рассеивающую среду излучения импульсного лазера со сверхкороткой длительностью импульсов позволяет осуществить одновременную реконструкцию двух независимых пространственных распределений коэффициентов рассеяния и поглощения. При этом обнаруживается тесная связь полученных соотношений с преобразованием Радона. На этом пути особое значение имеет реализация условий, при которых разделяются баллистические и рассеянные фотоны, которая оказалась достаточно трудной экспериментальной задачей. Были теоретически выяснены условия возникновения бимодального вида функции временного распределения излучения ультракороткой длительности в сильнорассеивающей среде, причем теоретические расчеты позволили впервые осуществить надежную экспериментальную регистрацию бимодального временного распределения излучения лазерного фемтосекундного импульса, прошедшего через рассеивающую среду [41-44].

Главной особенностью томографии СРС является необходимость одновременного определения двух пространственных функций – коэффициента поглощения и коэффициента рассеяния СРС. Существует важный частный случай, сокращающий число неизвестных функций. Для этого постулируется, что и коэффициент поглощения, и коэффициент рассеяния СРС, являясь пространственно неоднородными величинами, пропорциональны одной и той же плотности среды. Можно называть такие СРС пропорциональными средами. Это предположение естественно следует из представления о поглощающих и рассеивающих центрах, каждый из которых может с некоторой вероятностью как поглотить, так и рассеять налетающий фотон. Тогда макроскопические характеристики должны быть пропорциональны плотности таких центров, которая может быть пространственно неоднородной. С учётом сделанного предположения задача сводится к определению единственной неизвестной функции – плотности поглощающих и рассеивающих центров или любого коэффициента, поглощения или рассеяния. В пропорциональных средах появляется возможность детального исследования влияния граничного условия в точке выхода луча из СРС.

Одной из главных причин неудовлетворительности результатов применения обратного преобразования Радона к традиционно определённым проекциям является пренебрежение условиями в точке выхода луча из СРС. Точные граничные условия приводят к существенно более сложному выражению для проекций. Влияние ограниченности рассеивающего слоя, проходимого зондирующим лучом, по-видимому, является одним из принципиальных отличий томографии рассеивающих сред от томографии чисто поглощающих сред.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 00-02-16085).

Литература
  1. Medical optical tomography: functional imaging and monitoring. Proc. SPIE, 1993, vol. IS11._656с.
  2. Theoretical study, mathematical, experimental model for photon transport in scattering media and tissue. Proc. SPIE, 1994, vol. 2326._478с.
  3. Wilson B.C., Sevick E.M., Patterson M.S., Chance B. Time-dependent optical spectroscopy and imaging for biomedical applications// Proc. Of the IEEE, 1992, v.80, No.6, p.918-930.
  4. Prahl S.A., Gemert M.J.C. van, Welch A.J. Determining the optical properties of turbid media by using the adding-doubling method// Applied Optics, 1993, vol.32, No.4, p.559-568.
  5. Tuchin V.V. Lasers and fiber optics in biomedicine. Part 1// Laser Physics, 1993, vol.3, No.4, p.767-820.
  6. Tuchin V.V. Lasers and fiber optics in biomedicine. Part 2// Laser Physics, 1993, vol.3, No.5, p.925-950.
  7. Тучин В.В. Исследование биотканей методами светорассеяния. УФН, 1997, т.167, N5, с.517-539.
  8. Барабаненков Ю.Н., Кравцов Ю.А., Рытов С.М., Татарский В.И. Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде //УФН, 1970, т.102, вып.1, с.3-42.
  9. Апресян Л.А., Кравцов Ю.А. Теория переноса излучения. М., Наука, 1983.-216с.
  10. Кольчужкин А.М., Учайкин В.В. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. М., Атомиздат, 1978.-256с.
  11. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах.- М., Мир, 1981, т.1.-280с.
  12. Апресян Л.А., Кравцов Ю.А. Фотометрия и когерентность: волновые аспекты теории переноса излучения//УФН, 1984, т.142, вып.4, с.689-711.
  13. Bonner R.F., Nossal R., Halvin S., Weiss G.H. Model for photon migration in turbid biological media// J. of the Optical Society of America (A), 1987, vol.4, No.3, p.423-432.
  14. Gandjbakhche A.H., Chernomordik V, Hebden J.C., Nossal R. Time-dependent contrast function for quantitative imaging in time-resolved transillumination experiments// Applied Optics, 1998, vol.37, No.10, p.1973-1981.
  15. Hebden J.C., Hall D.J., Delpy D.T. The spatial resolution performance of a time-resolved optical imaging system using temporal extrapolation// Medical Physics, 1995, vol.22, No.2, p.201-208.
  16. Moon J.A., Reinjes J. Image resolution by use of multiply scattered light// Optics Letters, 1994, vol.19, No.8, p.521-523.
  17. Noginov M.A., Noginova N., Egarievwe S., Wang J.C., Kokta M.R., Paitz J. Study of light propagation in scattering powder laser materials// Optical Materials, 1998, article No.1701, p.1-7.
  18. Yoon G., Welch A.J., Motamedi M., Gemert M.C.J. van. Development and application of three-dimensional light distribution// IEEE J. of Quantum Electronics, 1987, vol.QE-23, No.10, p.1721-1723.
  19. Hielscher A.H., Alcouffe R.E. Non-diffusive photon migration in homogeneous and heterogeneous tissues// SPIE Proc., 1996, vol.2925, p.22-30.
  20. Hiraoka M., Firbank M., Essenpreis M., Cope M., Arridge S.R., Zee P. van der, Delpy D.T. A Mote Carlo investigation of optical pathlength in homogeneous tissue and its application to near-infrared spectroscopy// Physics in Medicine and Biology, 1993, vol.38, p.1859-1876.
  21. Pifferi A., Taroni P., Valentini G., Andersson-Engels S. Real time method for fitting time-resolved reflectance and transmittance measurements with a Mote Carlo model// Applied Optics, 1998, vol.37, No.13, p.2774-2780.
  22. Brown C.S., Burns D.H., Spelman F.A., Nelson A.C. Computed tomography from optical projections for three-dimensional reconstruction of thick objects// Applied Optics, 1992, vol.31, No.29, p.6247-6254.
  23. Walker S.A., Fantini S., Gratton E. Image reconstruction by backprojection from frequency-domain optical measurements in highly scattering media// Applied Optics, 1997, vol.36, No.1, p.170-179.
  24. Colak S.B., Papaioannou D.G., Hooft G.W.'t, Mark M.B. van der. Optical image reconstruction with deconvolution in light diffusing media// SPIE Proc., 1995, vol.2626, p.Colak-1-Colak-10.
  25. Fantini S., Franceschini M.A., Walker S.A., Maier J.S., Gratton E. Photon path distribution in turbid media: applications for imaging// SPIE Proc., 1995, vol.2389, p.340-348.
  26. Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. Оптическая томография.- М., Радио и связь, 1989.-224 с.
  27. Arridge S.R. The forward and inverse problems in time resolved infra-red imaging// SPIE Proc., 1993, vol.IS11, p.35-64.
  28. Arridge S.R. Photon-measurement density functions. Part 1: Analytical forms// Applied Optics, 1995, vol.34, No.31, p.7395-7409.
  29. Arridge S.R., Schweiger M. Photon-measurement density functions. Part 2: Finite-element-method calculations// Applied Optics, 1995, vol.34, No.34, p.8026-8037.
  30. Arridge S.R., Zee P. van der, Cope M., Delpy D.T. Reconstruction methods for infra-red absorption images// SPIE Proc., 1991, vol.1431, p.204-215.
  31. Arridge S.R., Schweiger M., Delpy D.T. Iterative reconstruction of near infra-red absorption images// SPIE Proc., 1992, vol.1767, p.312-323.
  32. Arridge S.R., Schweiger M., Hiraoka M., Delpy D.T. A finite element approach for modelling photon transport in tissue// Medical Physics, 1993, vol.20, No.2, Pt.1, p.299-309.
  33. Терещенко С.А. О некорректности применения диффузионного приближения нестационарного уравнения переноса излучения к оптической томографии биологических сред// Известия Вузов. Электроника. 1997, N6, с.101-104.
  34. Jiang H., Paulsen K.D., Osterberg U.L., Pogue B.W., Patterson M.S. Simultaneous reconstruction of optical absorption and scattering maps in turbid media from near-infrared frequency-domain data// Optics Letters, 1995, vol.20, No.20, p.2128-2130.
  35. Schweiger M., Arridge S.R. Direct calculation with a finite-element method of the Laplace transform of the distribution of photon time of flight in tissue// Applied Optics, 1997, vol.36, No.34, p.9042-9048.
  36. Podgaetsky V.M., Tereshchenko S.A., Vorobiev N.S., Tomilova L.G., Smirnov A.V., Ivanov A.V. Optical imaging via biological object internal structure contrasting// Proceedings SPIE, "Photon Transport in Highly Scattering Tissue", 1994, vol.2326,
  37. С.В.Селищев, С.А.Терещенко. Томография рассеивающих сред в двухпотоковой модели переноса излучения. Письма в ЖТФ, 1995, т.21, N12, с.24-27.
  38. С.А.Терещенко, В.М.Подгаецкий, Н.С.Воробьев, А.В.Смирнов. Условия прохождения коротких оптических импульсов через сильнорассеивающую среду. - М., Квантовая электроника, 1996, т.23, N 3, c. 265-268.
  39. С.В.Селищев, С.А.Терещенко. Нестационарная двухпотоковая модель переноса излучения для томографии рассеивающих сред. ЖТФ, 1997, т.67, N5, с.61-65.
  40. С.А.Терещенко, С.В.Селищев. Решение задачи оптической томографии для ограниченных рассеивающих сред в двухпотоковой модели переноса излучения. Письма в ЖТФ, 1997, т.23, N 17, с.64-67.
  41. С.А.Терещенко, В.М.Подгаецкий, Н.С.Воробьев, А.В.Смирнов. Раздельное наблюдениес баллистических и рассеянных фотонов при распространении коротких лазерных импульсов в сильнорассеивающей среде. - Квантовая электроника, 1998, т.25, N 9, с.853-856.
  42. В.М.Подгаецкий, С.А.Терещенко. Количественное определение условий разделения баллистических и рассеянных фотонов в лазерном ультракоротком импульсе, прошедшем через сильнорассеивающую среду. - ДАН, 1999, т.366, N 1, c.39-42.
  43. Н.С.Воробьев, В.М.Подгаецкий, А.В.Смирнов, С.А.Терещенко. Наблюдение разделения фотонов в лазерном ультракоротком импульсе, прошедшем через сильнорассеивающую среду. - Квантовая электроника, 1999, т.28, N 2, с.181-182.
  44. V.M.Podgaetsky, S.A.Tereshchenko, A.V.Smirnov, N.S.Vorob'ev. Bimodal temporal distribution of photons in ultrashort laser pulse passed through a turbid medium. - Optics Communications, 2000, v.180, p.217-223.

Содержание конференции | Секция2